Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．延長CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第4個(gè)正方形的邊長為$\frac{64}{27}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理求出AD，進(jìn)而得到AB的長度，利用三角形相似的判定，證明△ABA₁∽△DOA，得出BA₁的長度，進(jìn)而得到CA₁的長度，同理可得第三個(gè)正方形，第四個(gè)正方形的邊長．

解答 解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∵∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD=$\sqrt{10}$，
∴∠ODA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}=\frac{\sqrt{10}}{3}$，解得：BA₁=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴CA₁=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
同理，可得：C₁A₂=$（\frac{4}{3}）^{2}\sqrt{10}$，
∴第4個(gè)正方形的邊長為$（\frac{4}{3}）^{3}\sqrt{10}$=$\frac{64}{27}\sqrt{10}$，
故答案為：$\frac{64}{27}\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了點(diǎn)的規(guī)律，綜合運(yùn)用了正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，能熟練運(yùn)用三角形的性質(zhì)和判定求出相關(guān)線段的長度是解決此題的關(guān)鍵．