Question

1．已知關(guān)于x的方程x²-（m+1）x+2（m-1）=0．
（1）求證：無(wú)論m取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a=6，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=（m-3）²≥0，由此即可證出結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可知b=c或b、c中有一個(gè)為6，①當(dāng)b=c時(shí)，根據(jù)根的判別式△=（m-3）²=0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出該種情況不合適；②當(dāng)方程的一根為6時(shí)，將x=6代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定△ABC的三條邊，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵在方程x²-（m+1）x+2（m-1）=0中，△=[-（m+1）]²-4×2（m-1）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴無(wú)論m取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）∵△ABC為等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一個(gè)為6．
①當(dāng)b=c時(shí)，△=（m-3）²=0，
解得：m=3，
∴原方程為x²-4x+4=0，
解得：b=c=2，
∵b+c=2+2=4＜6，
∴2、2、6不能構(gòu)成三角形．
②當(dāng)方程的一根為6時(shí)，將x=6代入原方程得：36-6（m+1）+2（m-1）=0，
解得：m=7，
∴原方程為x²-8x+12=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
∵6+2=8＞6，6+6=12＞2，
∴△ABC的三邊長(zhǎng)為：2、6、6，
∴C_△ABC=2+6+6=14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分b=c或b、c中有一個(gè)為6兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．