Question

17．如圖所示的拋物線是由拋物線y=-x²向上平移4個單位長度，再向右平移1個單位長度得到，與y軸交于C點．
（1）寫出這條拋物線的解析式．
（2）點P為拋物線在x軸上方的一個動點，求滿足△ABP和△ABC面積相等的點P的坐標．
（3）點Q為對稱軸上的一個動點，求使△ACQ得周長最短的點Q的坐標．
（4）點R為對稱軸上的一個動點，求使|AR-CR|的值最大的點R的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線平移規(guī)律：“上加下減，左加右減”即可寫出．
（2）如圖1中，作CP∥AB，交拋物線于P，連接AP、PB．點P就是所求的點．
（3）如圖2中，連接BC與對稱軸交于點Q，此時QA+QC最小，即△QAC周長最�。�求出直線BC的解析式，解方程組即可．
（4）如圖3中，延長AC交對稱軸于R，R′是對稱軸上任意一點，由|AR′-CR′|≤AC，可知當A、C、R′共線時，|AR-CR|的值最大，最大值為AC的長．求出直線AC的解析式解方程組即可解決問題．

解答 解：（1）拋物線y=-x²向上平移4個單位長度，再向右平移1個單位長度得到y(tǒng)=-（x-1）²+4．

（2）如圖1中，作CP∥AB，交拋物線于P，連接AP、PB．

∵拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
令x=0，得y=3，
令y=0，得-x²+2x+3=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
∵CP∥AB，
∴S_△ABC=S_△ABP，點P的縱坐標y_P=3，
與-x²+2x+3=3，解得x=0或2，
∴點P坐標（2，3）．

（3）如圖2中，連接BC與對稱軸交于點Q，此時QA+QC最小，即△QAC周長最�。�

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點Q坐標為（1，2）．

（4）如圖3中，延長AC交對稱軸于R，R′是對稱軸上任意一點，

∵|AR′-CR′|≤AC，
∴當A、C、R′共線時，|AR-CR|的值最大，最大值為AC的長．
時直線AC的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=3x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+3}\\{x=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴點R坐標（1，6）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、三角形面積、平行線的性質(zhì)、兩點之間線段最短、三角形的兩邊之差小于第三邊等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會利用對稱解決最小值問題，學會利用三角形兩邊之差小于第三邊，解決兩邊之差的最大值問題，屬于中考壓軸題．