Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸的正半軸于點A，交y軸正半軸于點B，點C在直線AB上，OC=OA，且OA、OB的長（OB＞OA）是方程x²-15x+50=0的根．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求點C的坐標(biāo)；
（3）點Q是平面內(nèi)任一點在直線OC上是否存在一點P使得以A，C，P，Q　為頂點的四邊形為菱形？若存在請直接寫出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由方程x²-15x+50=0求得x₁=5，x₂=10，得到A（5，0），B（0，10），利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為：y=-2x+10；
（2）過點C作CD⊥OA于D，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求得點的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)四邊形ACPQ為菱形，得到AC=CP，分類討論：當(dāng)點P在直線AB的上方，根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式求得點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程x²-15x+50=0得x₁=5，x₂=10，
∵OB＞OA，∴OA=5，OB=10，
∴A（5，0），B（0，10），
設(shè)直線AB的解析式：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{10=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$．
∴直線AB的解析式為：y=-2x+10；

（2）如圖過點C作CD⊥OA于D，
∵OA=OC=5，設(shè)C（m，-2m+10），
在R_t△OCD中，5²=m²+（-2m+10）²，
∴m₁=3，m₂=5（舍去），
∴m=3，
∴C（3，4）；

（3）存在；如圖2，過C作CD⊥OA于D，過P作PG⊥OA于G，
∴CD∥PQ，
當(dāng)點P在直線AB的上方，
∵四邊形ACPQ為菱形，
∴AC=CP，
由勾股定理求得AC=2$\sqrt{5}$，
∴PC=2$\sqrt{5}$，
∴OP=5+2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{CD}{PG}$=$\frac{OD}{OG}$=$\frac{OC}{OP}$，
∴PG=$\frac{20+8\sqrt{5}}{5}$，OG=$\frac{15+6\sqrt{5}}{5}$，
∴P（$\frac{15+6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20+8\sqrt{5}}{5}$），
當(dāng)點P在直線AB的下方，
同法求得P（$\frac{15-6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20-8\sqrt{5}}{5}$），
以AC作為菱形的對角線，則點P是AC的垂直平分線與OC的交點，∵C（3，4），∴CO=5，∴OC=OA，∴P的坐標(biāo)為（0，0），
當(dāng)P（0.6，0.8）時，以A，C，P，Q　為頂點的四邊形為菱形，
綜上所述，P（$\frac{15+6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20+8\sqrt{5}}{5}$）或（$\frac{15-6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20-8\sqrt{5}}{5}$）或（0，0）或（0.6，0.8）．

點評 本題考查了解一元二次方程，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，用勾股定理求點的坐標(biāo)，菱形的性質(zhì)，根據(jù)P點的不同位置進(jìn)行分類求解．