Question

16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF∥CE．
（1）說(shuō)明四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）易證∠DEC=∠DFA，即可得CE∥AF，根據(jù)CE=AF可得四邊形ACEF為平行四邊形；
（2）要使得平行四邊形ACEF為菱形，則AC=CE，又CE=$\frac{1}{2}$AB，所以使得AB=2AC即可，根據(jù)AB、AC即可求得∠B的值．

解答 （1）證明：∵DE垂直平分BC，
∴∠EDB=90°，
∴DE∥AC，即FE∥AC，
∵AF∥CE，
∴四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．
理由：∵DE垂直平分BC，
∴BE=EC，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B=30°，
∴∠BCE=30°，
∴∠AEC=∠B+∠BCE=30°+30°=60°．
∵∠BCA=90°∴∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴AC=EC．
∵四邊形ACEF是平行四邊形，
∴四邊形ACEF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，本題中根據(jù)特殊角的正弦函數(shù)值求∠B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．