Question

12．在如圖直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三點，其中a，b，c滿足關系$\sqrt{a-2}+（b-3）^{2}$=0，（c-4）²≤0，點P、點A、點C在同一條直線上．
（1）求a、b、c的值；
（2）如果點P（m，n）在第二象限，四邊形CBOP的面積為y，請你用含m，n的式子表示y；并求出m，n之間的關系；
（3）在滿足（2）的條件下，若PE∥OB交AB于點E，PO∥AB，求點E，點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用二次根式以及平方的非負性得出a，b，c的值即可；
（2）利用四邊形面積求法，將原圖形分割，得出用含m，n的式子表示y的解析式；利用待定系數法求出直線AC的解析式，根據點P、點A、點C在同一條直線上求出m，n之間的關系；
（3）先判定四邊形POBE是平行四邊形，得出BO=PE=3．利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，根據直線平移的規(guī)律得出直線OP的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x．聯立直線AC與直線OP的解析式，得出方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=-\frac{2}{3}x}\end{array}\right.$，解方程組求出點P的坐標，進而得到點E的坐標．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2}+（b-3）^{2}$=0，（c-4）²≤0，
∴a=2，b=3，c=4；

（2）∵點P（m，n）在第二象限，四邊形CBOP的面積為y，
∴y=梯形OACB的面積+△OAP的面積
=$\frac{1}{2}$（2+4）×3+$\frac{1}{2}$（-m）×2
=9-m；
設直線AC的解析式為y=kx+2，
將C（3，4）代入，得4=3k+2，
∴k=$\frac{2}{3}$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+2，
∵點P、點A、點C在同一條直線上，P（m，n），
∴n=$\frac{2}{3}$m+2；

（3）∵PE∥OB，PO∥AB，
∴四邊形POBE是平行四邊形，
∴BO=PE=3．
易求直線AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，
∴直線OP的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=-\frac{2}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點P的坐標為（-$\frac{3}{2}$，1），
∵PE∥OB，PE=3，
∴點E的坐標為（$\frac{3}{2}$，1）．

點評 此題考查了坐標與圖形性質，非負數的性質，圖形面積的求法，待定系數法求直線的解析式，平行四邊形的判定與性質，直線與點平移的規(guī)律，兩直線交點的求法等知識，綜合性較強，有一定難度．