Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），B（4，4），點(diǎn)P在半徑為2的圓O上運(yùn)動(dòng)，則$\frac{1}{2}$AP+BP的最小值是5．

Answer 1

分析 如圖，取點(diǎn)K（1，0），連接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得$\frac{PK}{PA}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{1}{2}$，推出PK=$\frac{1}{2}$PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK的最小值為BK的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，取點(diǎn)K（1，0），連接OP、PK、BK．

∵OP=2，OA=4，OK=1，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OK}{OP}$=$\frac{1}{2}$，∵∠POK=∠AOP，
∴△POK∽△AOP，
∴$\frac{PK}{PA}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PK=$\frac{1}{2}$PA，
∴PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK，
在△PBK中，PB+PK≥BK，
∴PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK的最小值為BK的長(zhǎng)，
∵B（4，4），K（1，0），
∴BK=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
故答案為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．