Question

4．在?ABCD中，AB=6.5，AD=4，∠D=60°，M是邊CD上一點(diǎn)，將△ADM沿直線AM折疊，得到△ANM．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在AB上時(shí)，求DM的長；
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M，N，B恰好在同一直線上時(shí)，求BN的長．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明∠DAM=∠DMA，從而可得到DM=AD；
（2）先證明△ANB≌△BCM，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到MC=NB，MB=AB=6.5，過點(diǎn)B作BE⊥DC，垂足為E，在Rt△BCE中，利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得CE=2，BE=2$\sqrt{3}$，在Rt△MBE中，依據(jù)勾股定理可求得ME的長，最后依據(jù)NB=MC可得到問題的答案．

解答 解：（1）由翻折的性質(zhì)可知：∠DAM=∠NAM．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DM∥AN，
∴∠DMA=∠NAM．
∴∠DAM=∠DMA．
∴DM=AD=4．

（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠D=60°，
∴AD=BC，∠DCB=120°．
由翻折的性質(zhì)可知：AD=AN，∠D=∠MNA=60°．
∴AN=BC，∠ANB=∠MCB=120°．
∵DC∥AB，
∴∠CMB=∠NBA．
在△ANB和△BCM中$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB=∠MCB}\\{∠CMB=∠NBA}\\{AN=BC}\end{array}\right.$，
∴△ANB≌△BCM．
∴MC=NB，MB=AB=6.5．
過點(diǎn)B作BE⊥DC，垂足為E．

在Rt△BCE中，∠ECB=60°，BC=4，
∴CE=2，BE=2$\sqrt{3}$．
在Rt△MBE中，ME=$\sqrt{B{M}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{11}{2}$．
∴NB=MC=$\frac{11}{2}$-2=$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、翻折的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，勾股定理，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．