Question

2．已知四邊形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=2PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，則對角線PQ的長的最小值是6．

Answer 1

分析 作QH⊥BC，交BC的延長線于H，易證Rt△ADP∽Rt△QHC．由DE=2PD，則BH即可．由圖知，當PQ⊥AB時，PQ的長最小值即可求得．

解答 解：作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
∵AB∥QH，
∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH．
∵以PE，PC 為邊作?PCQE，
∴PE∥CQ，
∴∠DPQ=∠PQC，
∴∠APD=∠CQH，
∴Rt△ADP∽Rt△QHC．
∴$\frac{PD}{QC}$=$\frac{AP}{HQ}$，即$\frac{PD}{PE}$=$\frac{AD}{HC}$，
∵DE=2PD，
∴$\frac{PD}{3PD}$=$\frac{AD}{HC}$，
∵AD=1，
∴HC=2+1=3，
∵BC=3，
∴BH=3+2+1=6．
∴由圖知，當PQ⊥AB時，PQ的長最小值為6．
故答案是：6．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．