Question

17．矩形ABCD中，AD=5，AB=10，E、F分別為矩形外的兩點，BE=DF=4，AF=CE=3，則EF=$\sqrt{221}$．

Answer 1

分析 延長EA交EB的延長線于點M，可證明△EMF是等腰直角三角形，由SSS證明△ADF≌△CBE，得出∠FDA=∠EBC，∠DAF=∠BCE，∵∠FDA+DAF=90°，證出∠M=90°=∠AFD，證明△ADF∽△BAM，得出對應(yīng)邊成比例求出BM、AM，得出ME、MF的長，然后由勾股定理求出EF即可．

解答 解：延長EA交EB的延長線于點M，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，AB=DC=10，∠BAD=90°，
∵BE=DF=4，AF=CE=3，
∴AF²+DF²=AD²=25，
∴△ADF是直角三角形，∠AFD=90°，
同理：△CBE是直角三角形，
∴∠FDA+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠FDA=∠BAM，
同理：∠ECB=∠MBA，
在△ADF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=BE}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\\{AF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE（SSS），∠FDA=∠EBC，∠DAF=∠BCE，
∵∠FDA+DAF=90°，
∴∠BAM+∠MBA=90°
∴∠M=90°=∠AFD，
∴△ADF∽△BAM，
∴$\frac{AF}{BM}=\frac{DF}{AM}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{3}{BM}=\frac{4}{AM}=\frac{5}{10}$，
解得：BM=6，AM=8，
∴MF=AF+AM=11，ME$\sqrt{1{0}^{2}+1{1}^{2}}$═BE+BM=10，
∴EF=$\sqrt{M{E}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{221}$．
故答案為：$\sqrt{221}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，題目的綜合性較強，是一道非常不錯的中考題目，證明出三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．