Question

9．已知關(guān)于x的一元二次方程ax²+（2+2a）x+a+2=0（a≠0）．
（1）求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的兩個(gè)根都為整數(shù)，求整數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=4＞0，由此即可證出此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用因式分解法求出方程的兩個(gè)根，由方程的兩個(gè)根均為整數(shù)，即可求出a值．

解答 證明：（1）△=（2+2a）²-4a（a+2）=4+8a+4a²-4a²-8a=4．
∵△=4＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵ax²+（2+2a）x+a+2=（x+1）（ax+a+2）=0，
∴x₁=-1，x₂=-$\frac{a+2}{a}$=-1-$\frac{2}{a}$．
∵方程的根均為整數(shù)，
∴a=±1或a=±2．

點(diǎn)評(píng) 本題靠了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的兩根．