Question

15．如圖，正方形ABCD中，AB=2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 首先作出點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′從而可知當(dāng)點(diǎn)P、M、D′在一條直線上時(shí)，路徑最短，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，PG和GD′均最短，即PD′最短，然后由正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知：PG=1，GD′=3，最后由勾股定理即可求得PD′的長(zhǎng)，從而可求得MD+MP的最小值．

解答 解：如圖作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接PD′，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：MD=D′M，CD=CD′=2
∴PM+DM=PM+MD′=PD′
過(guò)點(diǎn)P作PE垂直DC，垂足為G，
易證AF⊥BE，故可知P的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧上，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，PG和GD′均最短，
∴此時(shí)，PD′最短．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴PG=$\frac{1}{2}AD=1$，GC=$\frac{1}{2}DC=1$．
∴GD′=3．
在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′=$\sqrt{P{G}^{2}+GD{′}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是最短路徑問(wèn)題，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．