Question

3．小明用長(zhǎng)AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計(jì)了三種方案：
方案一：直接鋸一個(gè)半徑最大的圓；
方案二：沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓；
方案三：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個(gè)盡可能大的圓．
（1）寫(xiě)出方案一中圓的半徑；
（2）求方案二中圓的半徑；
（3）在方案三中，設(shè)CE=x（0＜x＜1），當(dāng)x取何值時(shí)圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說(shuō)明三種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑最大．

Answer 1

分析 （1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過(guò)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，由已知長(zhǎng)寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1．
（2）方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長(zhǎng)的題目．一般都先設(shè)出所求邊長(zhǎng)，而后利用關(guān)系代入表示其他相關(guān)邊長(zhǎng)，方案二中可利用△O₁O₂E為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后對(duì)應(yīng)邊成比例整理方程，進(jìn)而可求r的值．
（3）①類似（1）截圓的直徑需不超過(guò)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過(guò)橫縱向方向跨度．則選擇最小跨度，取其$\frac{1}{2}$，即為半徑．由EC為x，則新拼圖形水平方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+x，則需要先判斷大小，而后分別討論結(jié)論．
②已有關(guān)系表達(dá)式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案三中的最大半徑．即得最終結(jié)論．

解答 解：（1）方案一中的最大半徑為1．
∵長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為3，2，
∴直接取圓直徑最大為2，
∴半徑最大為1；

（2）設(shè)半徑為r，
在△AOM和△OFN中，
∵∠A=∠FON，OMA=FNO，
∴△AOM∽△OFN，
∴$\frac{OM}{AM}$=$\frac{FN}{ON}$，
∴$\frac{r}{3-r}$=$\frac{2-r}{r}$，
解得 r=$\frac{6}{5}$；

（3）設(shè)圓的半徑為 y，
①∵EC=x，
∴新拼圖形水平方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+x．
類似（1），所截出圓的直徑最大為3-x或2+x較小的．
當(dāng)3-x＜2+x時(shí)，即當(dāng)1＞x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}$（3-x）；
當(dāng)3-x=2+x時(shí)，即當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)3-x＞2+x時(shí)，即當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}$（2+x）．
②當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}$（3-x）＜$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{2}$（2+x）＜$\frac{1}{2}$（2+$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$，
∴方案四中，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y最大為$\frac{5}{4}$．
∵1＜$\frac{13}{12}$＜$\frac{6}{5}$＜$\frac{5}{4}$，
∴三種方案中，方案三半徑最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過(guò)勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長(zhǎng)及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路，但仔細(xì)觀察每一小問(wèn)都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點(diǎn)，所以總體來(lái)說(shuō)是一道質(zhì)量很高的題目，值得認(rèn)真練習(xí)．