Question

19．已知：正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4，將該正方形紙片沿EF折疊（E，F(xiàn)分別在AB，CD邊上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P．
（1）如圖①，連接PE，若M是AD邊的中點(diǎn)．①圖中與△PMD相似的三角形是△AME∽△DPM，△MPD∽△FPN，△EMP∽△MDP；
②求△PMD的周長(zhǎng)．
（2）如圖②，隨著落點(diǎn)M在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)M不與A、D重合），△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （1）①依據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似可證明△AEM∽△DMP，△PFN∽△PMD，然后依據(jù)兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似證明△EMP∽△MDP即可；②設(shè)AE=x，則EM=4-x，在Rt△AEM中，依據(jù)勾股定理可求得x的值，然后可求得△AEM的周長(zhǎng)，然后依據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比求解即可；
（2）設(shè)AM=m，AE=n，則DM=4-m，EM=4-n．在Rt△AEM中，依據(jù)勾股定理和完全平方公式可得到8n=16-m²，然后可△PMD∽△MEA可求得△PMD的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）①依據(jù)翻折的性質(zhì)可知∠EMP=∠B=90°，∠C=∠N=90°
∴∠AME+∠PMD=90°．
又∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠PMD．
又∵∠A=∠D，
∴△AME∽△DPM．
∵∠MPD=∠FPN，∠D=∠N=90°
∴△MPD∽△FPN．
∵△AME∽△DPM，
∴$\frac{AM}{ME}=\frac{DP}{MP}$．
又∵AM=MD，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{DP}{MP}$．
又∵∠EMP=∠D=90°，
∴△EMP∽△MDP．
故答案為：△AME∽△DPM，△AME∽△DPM，△EMP∽△MDP．
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4．
∵點(diǎn)M是AD邊中點(diǎn)，
∴AM=DM=2．
由折疊的性質(zhì)得：ME=BE，
∴△MEA的周長(zhǎng)為6．
在Rt△MEA中，設(shè)AE=x，則ME=4-x．
∴x²+2²=（4-x）²，解得：x=$\frac{3}{2}$．
∵△PMD∽△MEA，
∴$\frac{△PMD的周長(zhǎng)}{△MEA的周長(zhǎng)}$=$\frac{DM}{AE}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{△PMD的周長(zhǎng)}{6}=\frac{4}{3}$．
∴△PMD的周長(zhǎng)為8．

（2）△PMD的周長(zhǎng)不變．
設(shè)AM=m，AE=n，則DM=4-m，EM=4-n，△AEM的周長(zhǎng)=4+m．
在Rt△AME中，依據(jù)勾股定理可知：m²+n²=（4-n）²，即8n=16-m²．
∵△PMD∽△MEA，
∴$\frac{△PMD的周長(zhǎng)}{△MEA的周長(zhǎng)}$=$\frac{DM}{AE}$$\frac{4-m}{n}$．
∴△PMD的周長(zhǎng)=$\frac{（4-m）（4+m）}{n}$=$\frac{16-{m}^{2}}{n}$=$\frac{8n}{8}$=8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)和判定，翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．