Question

19．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向終點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向終點B運動，當其中一個動點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設運動時間為ts．
（1）若AB=3cm，求CD的長；
（2）當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？
（3）探究：當線段AB的長為多少時，第（2）小題中的四邊形PDCQ是菱形？

Answer 1

分析 解：（1）根據(jù)矩形的性質，可得DE=AB，BE=AD，根據(jù)勾股定理，可得CD的長；
（2）根據(jù)PD∥CQ，PD=CQ時，四邊形PDCQ是平行四邊形，可得關于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得DC的長，根據(jù)勾股定理，可得DE的長，根據(jù)矩形的性質，可得答案．

解答 解：（1）過點D作DE⊥BC于點E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴DE=AB，BE=AD．
∵AD=9cm，BC=13cm，AB=3cm，
∴DE=3cm，CE=4cm，CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5cm；
（2）由題意，得PD=（9-t）cm，CQ=2tcm，
當PD=CQ時，四邊形PDCQ是平行四邊形，
9-t=2t，
解得t=3，
即當t=3時，四邊形PDCQ是平行四邊形；
（3）當t=3時，CQ=6cm．
∵四邊形PDCQ是菱形，
∴CD=CQ=6cm．
又∵CE=4cm，
∴AB=DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm，
即當AB=2$\sqrt{5}$cm時，第（2）小題中的四邊形PDCQ是菱形．

點評 本題考查了菱形的判定，（1）利用了矩形的性質，勾股定理；（2）利用平行四邊形的判定得出關于t的方程是解題關鍵；（3）利用菱形的性質得出CD的長是解題關鍵，有利用了勾股定理．