Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC，若將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△FEC．
（1）試猜想線段AE與BF的長(zhǎng)短有何關(guān)系？說明理由；
（2）若△ABC的面積為3cm²，求四邊形ABFE的面積；
（3）當(dāng)∠ACB為多少度時(shí)，四邊形ABFE為矩形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF=AC，BE=BC，則根據(jù)平行四邊形的判定方法得到四邊形ABFC為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AE=BF；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用四邊形ABFE的面積進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）當(dāng)AC=BC時(shí)，四邊形ABFE為矩形而AB=AC，則寬帶判定△ABC為等邊三角形，于是得到∠ACB=60°．

解答 解：（1）AE=BF．理由如下：
∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△FEC，
∴CF=AC，BE=BC，
∴四邊形ABFC為平行四邊形，
∴AE=BF；
（2）∵四邊形ABFC為平行四邊形，
∴四邊形ABFE的面積=4S_△ABC=4×3=12（cm²）；
（3）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，四邊形ABFE為矩形．理由如下：
∵當(dāng)AF=BE時(shí)，平行四邊形ABFE為矩形，
∴AC=BC，
而AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
即當(dāng)∠ACB為60度時(shí)，四邊形ABFE為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定．