Question

5．當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時，就能拼成一個既不留空隙，又不相互重疊的平面圖形，我們稱之為鑲嵌．一塊地板由三種正多邊形的小木板鑲嵌而成，這三種正多邊形的邊數(shù)分別為a，b，c，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為360°．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．

解答 證明：因為一塊地板由三種正多邊形的小木板鑲嵌而成，這三種正多邊形的邊數(shù)分別為a，b，c，
可得：$180°-\frac{360°}{a}+180°-\frac{360°}+180°-\frac{360°}{c}=360°$，
180°=$\frac{360°}{a}+\frac{360°}+\frac{360°}{c}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了鑲嵌，關(guān)鍵是根據(jù)多邊形位于同一頂點處的幾個角之和能為360°即可．