Question

4．用一個(gè)大小形狀固定的不等邊銳角三角形紙，剪出一個(gè)最大的正方形紙備用．
甲同學(xué)說：“當(dāng)正方形的一邊在最長邊時(shí)，剪出的內(nèi)接正方形最大”；
乙同學(xué)說：“當(dāng)正方形的一邊在最短邊上時(shí)，剪出的內(nèi)接正方形最大”；
丙同學(xué)說：“不確定，剪不出這樣的正方形紙．”
你認(rèn)為誰說的有道理，請(qǐng)證明．
（假設(shè)圖中△ABC的三邊a，b，c，且a＞b＞c，三邊上的高分別記為h_a，h_b，h_c）

Answer 1

分析 解：設(shè)△ABC的三條邊上的對(duì)應(yīng)高分別為h_a，h_b，h_c，一邊分別落在a，b，c上的內(nèi)接正方形邊長分別記為x_a，x_b，x_c，由（1）、（2）可得：$\frac{{x}_{a}}{a}$=$\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，進(jìn)而表示出x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+{h}_{a}}$，同理x_b=$\frac{b{h}_}{b+{h}_}$，x_c=$\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，然后將它們作差，與0比較，進(jìn)而得出x_a，x_b，x_c，的大小關(guān)系．

解答 解：設(shè)△ABC的三條邊上的對(duì)應(yīng)高分別為h_a，h_b，h_c．
由（1）、（2）可得：$\frac{{x}_{a}}{a}$=$\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，
∴x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+{h}_{a}}$，
同理x_b=$\frac{b{h}_}{b+{h}_}$，x_c=$\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，
∵x_a-x_b=$\frac{a{h}_{a}}{a{+h}_{a}}$-$\frac{b{h}_}{b+{h}_}$=$\frac{2s}{a+{h}_{a}}$-$\frac{2s}{\;}$b+h_b=2S（$\frac{1}{a+{h}_{a}}$-$\frac{1}{b+{h}_}$），
=$\frac{2s}{（a+{h}_{a}）（b+{h}_）}$（b+h_b-a-h_a），
=$\frac{2s}{（a+{h}_{a}）（b+{h}_）}$（b-a）（1-$\frac{{h}_{a}}$），
∵a＞b，h_a＜b，
∴（b-a）（1-$\frac{{h}_{a}}$）＜0，
即x_a-x_b＜0，
∴x_a＜x_b，
同理：x_b＜x_c，
∴x_a＜x_b＜x_c．
∴乙同學(xué)說的正確．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．