Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x²+bx-2過(guò)點(diǎn)C．求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式．

解答 解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
在△AOB與△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠ACD}\\{AB=AC}\\{∠OBA=∠CAD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2上，
∴1=$\frac{1}{2}$×9+3b-2，解得：b=-$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．