Question

19．如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折痕CE=5$\sqrt{5}$，
且AE：AD=3：4．
（1）判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；
（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；
（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）結論△OCD與△ADE相似：根據同角的余角相等即可得出∠OCD=∠EDA，由此可證得兩三角形相似．
（2）求出C、E點的坐標，根據待定系數法即可解決問題．
（3）應該有兩條如圖
①直線BF滿足條件，根據B、D兩點的坐標求出此直線的解析式．
②假設直線DN滿足條件，因為△PDM∽△NCM，推出∠PDM=∠NCM，推出∠ODN=∠PCO，所以tan∠PCO=tan∠ODN，得到$\frac{OP}{OC}$=$\frac{ON}{OD}$，即$\frac{16}{8}$=$\frac{ON}{6}$，推出ON=12，然后根據N、D兩點的坐標求出直線DN的解析式．

解答 解：（1）△OCD與△ADE相似．
理由如下：
由折疊知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠CDO+∠EDA=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EOA．
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE．

（2）∵tan∠EDA=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴設AE=3t，則AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．
由（1）△OCD∽△ADE，得 $\frac{OC}{AD}$=$\frac{CD}{DE}$，
∴$\frac{8t}{4t}$=$\frac{CD}{5t}$，
∴CD=10t．
在△DCE中，∵CD²+DE²=CE²，
∴（10t）²+（5t）²=（5 $\sqrt{5}$）²，
解得t=1．
∴OC=8，AE=3，點C的坐標為（0，8），
點E的坐標為（10，3），
設直線CE的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b+8}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+8，則點P的坐標為（16，0）．

（3）存在．①直線BF滿足條件．
∵CE必垂直平分BD，
∴∠DGP=∠CGF=90°，
∵∠CFG+∠FCE=90°，∠DPG+∠FCE=90°
∴∠CFG=∠DPG，
∴△DPG∽△CFG，
∴直線BD符合條件，
∵D（6，0），B（10，8），
∴直線BD的解析式為y=2x-12．

②假設直線DN滿足條件，
∵△PDM∽△NCM，
∴∠PDM=∠NCM，
∴∠ODN=∠PCO，
∴tan∠PCO=tan∠ODN，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{ON}{OD}$，
∴$\frac{16}{8}$=$\frac{ON}{6}$，
∴ON=12，
∵N（0，12），D（6，0），
∴直線DN的解析式為y=-2x+12．
綜上所述，滿足條件的直線l有2條：y₁=-2x+12，y₂=2x-12．

點評 本題考查了一次函數的應用、圖形的翻折變換、矩形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，修改用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．