Question

12．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點O，點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接PO并延長，交BC于點E，過點Q作QF∥AC，交BD于點F．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，AP=PO．
（2）設(shè)五邊形OECQF的面積為S（cm²），試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得到AC=10，過P作PM⊥AO，證明△APM∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案；
（2）過點O作OH⊥BC交BC于點H，已知BE=PD，則可求△BOE的面積；可證得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面積比可求得△DFQ的面積，從而可求五邊形OECQF的面積．
（3）由角平分線的性質(zhì)得到DM=DN=$\frac{24}{5}$，根據(jù)勾股定理得到ON=OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，由三角形的面積公式得到OP=5-$\frac{5}{8}$t，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，AO=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵AP=PO=t，
過P作PM⊥AO，如圖1所示：
∴AM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{5}{2}$，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AD}$，即$\frac{t}{10}=\frac{\frac{5}{2}}{8}$，
解得：t=$\frac{25}{8}$，
即t=$\frac{25}{8}$時，AP=PO；

（2）過點O作OH⊥BC交BC于點H，則OH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=3cm．
由矩形的性質(zhì)可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，
在△DOP和△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠EBO}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\\{∠DOP=∠BOE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE=PD=8-t，
則S_△BOE=$\frac{1}{2}$BE•OH=$\frac{1}{2}$×3（8-t）=12-$\frac{3}{2}$t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比為$\frac{DQ}{DC}=\frac{t}{6}$，
∴$\frac{{S}_{△DFQ}}{{S}_{△DOC}}$=$\frac{{t}^{2}}{36}$，
∵S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×6×8=12cm²，
∴S_△DFQ=12×$\frac{{t}^{2}}{36}$=$\frac{{t}^{2}}{3}$，
∴S_{五邊形OECQF}=S_△DBC-S_△BOE-S_△DFQ=$\frac{1}{2}$×6×8-（12-$\frac{3}{2}$t）-$\frac{{t}^{2}}{3}$=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12；
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12；

（3）存在，理由如下：
如圖3，過D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=$\frac{24}{5}$，
∴ON=OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=5-$\frac{5}{8}$t，
∴PM=$\frac{18}{5}$-$\frac{5}{8}$t，
∵PD²=PM²+DM²，
∴（8-t）²=（$\frac{18}{5}$-$\frac{5}{8}$t）²+（$\frac{24}{5}$）²，
解得：t=16（不合題意，舍去），t=$\frac{112}{39}$，
∴當(dāng)t=$\frac{112}{39}$時，OD平分∠COP．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計算，全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．