Question

20．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8$\sqrt{2}$cm，AD⊥BC于點D．點P從點A出發(fā)，沿A→C方向以$\sqrt{2}$cm/s的速度運動到點C停止．在運動過程中，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（點M，C位于PQ異側）．設點P的運動時間為x（s），△PQM與△ADC重疊部分的面積為y（cm²）
（1）當點M落在AB上時，求x的值；
（2）當點M落在AD上時，PM與CD之間的數(shù)量關系是PM=$\frac{2}{3}$CD，此時x的值是$\frac{16}{3}$；
（3）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，由此即可解決問題．
（2）如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E，先證明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得$\frac{PA}{AC}=\frac{DE}{DC}=\frac{2}{3}$，由此即可解決問題．
（3）分三種情形①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，
②當4＜x≤$\frac{16}{3}$時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．
③當$\frac{16}{3}$＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，分別計算即可解決問題．

解答 解：（1）當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，
∴AP=CP=4$\sqrt{2}$，所以x=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=4．
故答案為4．
（2）如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E．

∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，PM∥CD，
∴$\frac{PM}{CD}=\frac{AP}{AC}$
∵PE∥AD，
∴$\frac{PA}{AC}=\frac{DE}{DC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PM}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴PM=$\frac{2}{3}$CD，
∵AC=8$\sqrt{2}$，
∴PA=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$÷$\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：PM=$\frac{2}{3}$CD，$\frac{16}{3}$．
（3）①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，

∵AP=$\sqrt{2}$x，
∴EF=PE=x，
∴y=S_△PEF=$\frac{1}{2}$•PE•EF=$\frac{1}{2}$x²．
②當4＜x≤$\frac{16}{3}$時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．

∵PQ=PC=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x，
∴PM=16-2x，∴ME=PM-PE=16-3x，
∴y=S_△PMQ-S_△MEG=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）²-$\frac{1}{2}$（16-3x）²=-$\frac{7}{2}$x²+32x-64．

③當$\frac{16}{3}$＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，
∴y=S_△PMQ=$\frac{1}{2}$PQ²=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）²=x²-16x+64．
綜上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{-\frac{7}{2}{x}^{2}+32x-64（4＜x≤\frac{16}{3}）}\\{{x}^{2}-16x+64（\frac{16}{3}＜x＜8）}\end{array}\right.$．

點評 此題是三角形綜合題，主要等腰直角三角形的性質、分段函數(shù)、三角形面積等知識；解（1）關鍵是求出$\frac{AP}{AC}=\frac{2}{3}$，解（3）的關鍵是正確畫出圖形，學會分類討論，屬于中考壓軸題．