Question

10．如圖，已知：直線y=-$\frac{1}{3}$x+1與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，矩形ABCD對(duì)稱中心為M，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）正好經(jīng)過(guò)C，M兩點(diǎn)，則k=4．

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{3}$x+1得到A（3，0），B（0，1），求得OA=3，OB=1，過(guò)C作CE⊥y軸于E，由四邊形ABCD是矩形，得到∠CBA=90°，推出△BCE∽△ABO，得到比例式$\frac{OB}{OA}=\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)OC=x，則BE=3x，C（x，3x+1），由于矩形ABCD對(duì)稱中心為M，得到M（x+$\frac{3-x}{2}$，$\frac{3x+1}{2}$），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征列方程x（3x+1）=（x+$\frac{3-x}{2}$）（$\frac{3x+1}{2}$），解得x=1，求得C（1，4），即可得到結(jié)果．

解答 解：在y=-$\frac{1}{3}$x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
過(guò)C作CE⊥y軸于E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠OBA=∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠BEC=∠AOB=90°，
∴△BCE∽△ABO，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)BE=x，則BE=3x，
∴C（x，3x+1），
∵矩形ABCD對(duì)稱中心為M，
∴M（x+$\frac{3-x}{2}$，$\frac{3x+1}{2}$），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）正好經(jīng)過(guò)C，M兩點(diǎn)，
∴x（3x+1）=（x+$\frac{3-x}{2}$）（$\frac{3x+1}{2}$），
解得：x=1，
∴C（1，4），
∴k=1×4=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．