Question

16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上，AB∥CD
（1）求證：∠ABO+∠CDO=90°；
（2）如圖2，BM平分∠ABO交x軸于點M，DN平分∠CDO交y軸于點N，求∠BMO+∠OND；
（3）如圖3，延長CD到Q，使CQ=AB，連AQ交y軸于K，若A（-4，0）、B（0，3）、C（0，a）（-3＜a＜0），求$\frac{BK-OK}{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)左邊角的和等于右邊角的和解答即可；
（3）根據(jù)平移性質(zhì)和三角形面積公式進行解答．

解答 證明：（1）過點O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴OE∥CD（平行公理的推論），
∴∠ABO=∠BOE，∠CDO=∠DOE，
∴∠ABO+∠CDO=∠BOE+∠DOE=∠BOD=90°；
（2）“豬蹄模型”中左邊角的和等于右邊角的和，即∠ABM+∠ODN=∠CDN+∠OBM，
設(shè)∠ABM=∠OBM=x，∠ODN=∠CDN=y，
∴x+y=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠CDO）=45°，
∴∠BMO+∠OND=x+y+90°=135°，
（3）線段CQ可看作是由線段AB平移得到，
∵A（-4，0）→C（0，a），
∴B（0，3）→D（4，3+a），
設(shè)K點的坐標(biāo)為（0，y），
S_△AOQ=$\frac{1}{2}$×4×（3+a）=2（3+a），S_△AOK=2y，S_△QOK=2y，
由S_△AOQ=S_△AOK+S_△QOK，
∴2y+2y=2（3+a），解得y=$\frac{3+a}{2}$，
∴BK=3-$\frac{3+a}{2}$=$\frac{3-a}{2}$，OK=$\frac{3+a}{2}$，OC=-a，
∴$\frac{BK-OK}{OC}$=1．

點評 此題考查三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平行線的判定以及性質(zhì)進行解答．