Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑點F、C是半圓弧ABC上的三等份點，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D，垂足為D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，確定出OC與AD平行，由CD與AD垂直，得到CD與OC垂直，即可得證；
（2）連接OF，利用等弧所對的圓心角相等及平角定義求出∠OCB的度數(shù)，在直角三角形OCE中，求出CE的長，利用角平分線性質(zhì)得到CD=CE，即可求出CD的長．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
則CD為圓O的切線；
（2）解：連接OF，過C作CE⊥AB，
∵$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠AOF=∠FOC=∠COB=60°，
在Rt△OCE中，OC=4，∠OCE=30°，
∴CE=2$\sqrt{3}$，
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CE⊥AB，
∴CD=CE=2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的判定，圓心角、弧及弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．