Question

11．如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BD，垂足為P，OE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，連接OF，PE，PF，試判斷四邊形OFPE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 四邊形OFPE的形狀是平行四邊形，連接AO并延長交⊙O于G，連接BG，BC，利用已知條件和圓周角定理可證明BG=DC，進(jìn)而可證明OE=PF，同理可得PE=OF，繼而可得四邊形OFPE的形狀．

解答 解：四邊形OFPE的形狀是平行四邊形，理由如下：
∵AG為直徑，∴∠ABG=90°，
∴∠ABD+∠DBG=90°且∠BAC+∠ABD=90，
∴∠BAC=∠DBG，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DG}$，
∴$\widehat{DC}$=$\widehat{BG}$，
∴BG=CD，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，且AO=OG，
∴OE=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$CD，
∵RT△PCD，PF為中線，
∴PF=$\frac{1}{2}$CD，
∴OE=PF，
同理可得PE=OF，
∴OFPE為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中位線定理，垂徑定理以及圓周角定理的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，添加輔助線較多，解題的關(guān)鍵是熟記并且靈活運(yùn)用和圓有關(guān)的性質(zhì)定理．