Question

19．如圖，正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，求證：當(dāng)k取不同正數(shù)時(shí)，四邊形ABCD的面積是常數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，以及正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而可以設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而可以得到點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，從而可以求出組成四邊形ABCD的各三角形的面積，再根據(jù)反比例函數(shù)可得到四邊形的面積的值，從而可以解答本題．

解答 證明：∵正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，
∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，0）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-x，-y），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-x，0）．
∴S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=$\frac{xy}{2}+\frac{x×|-y|}{2}+\frac{|-x||-y|}{2}+\frac{|-x|y}{2}$=$\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=2xy$．
∵點(diǎn)A在$y=\frac{1}{x}$上，
∴xy=1．
∵S_{四邊形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=2xy，
∴S_{四邊形ABCD}=2．
即當(dāng)k取不同正數(shù)時(shí)，四邊形ABCD的面積是常數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是明確它們的交點(diǎn)之間的關(guān)系，能將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求組成它的三角形的面積．