Question

8．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0）
（1）求△ABC的面積；
（2）在y軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)D，使得△ABD是以AB為底的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存，說(shuō)明理由．
（3）有一個(gè)P（-4，a），使得S_△PAB=S_△ABC，請(qǐng)你求出a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AO=1，BC=6，求得△ABC的面積；
（2）設(shè)D（0，a），則AD=1+a，OD=a，根據(jù)BD=AD=1+a，∠BOD=90°，可得Rt△BOD中，OD²+OB²=BD²，即a²+2²=（a+1）²，進(jìn)而得出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論，點(diǎn)P在第二象限或第三象限內(nèi)，根據(jù)S_△PAB=S_△ABC，求出a的值．

解答 解：（1）∵A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0），
∴AO=1，BC=6，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×6×1=3；

（2）存在一個(gè)點(diǎn)D，使得△ABD是以AB為底的等腰三角形．
如圖所示，設(shè)D（0，a），則AD=1+a，OD=a，
∵BD=AD=1+a，∠BOD=90°，
∴Rt△BOD中，OD²+OB²=BD²，
∴a²+2²=（a+1）²，
解得a=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，$\frac{3}{2}$）；

（3）在x軸負(fù)半軸上取點(diǎn)D（-4，0），過(guò)D作x軸的垂線(xiàn)l，則點(diǎn)P在該垂線(xiàn)l上，
過(guò)C作CP∥AB，交l于點(diǎn)P，則S_△PAB=S_△ABC，
∵A（0，-1）、B（-2，0），
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1，
設(shè)直線(xiàn)CP解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
把C（4，0）代入，可得
0=-2+b，
解得b=2，
∴直線(xiàn)CP解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴F（0，2），
當(dāng)x=-4時(shí)，y=2+2=4，
∴P（-4，4）；
當(dāng)點(diǎn)P'在x軸下方時(shí)，設(shè)過(guò)P'且平行于AB的直線(xiàn)交y軸于E，則AE=AF=3，
∴OE=4，即E（0，-4），
∴直線(xiàn)P'E解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-4，
當(dāng)x=-4時(shí)，y=2-4=-2，
∴P'（-4，-2），
∴a的值為4或-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出方程進(jìn)行求解．解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．