Question

1．已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接AC，CD，BD，BC，設(shè)△AOC，△BOC，△BCD的面積分別為S₁，S₂和S₃，用等式表示S₁，S₂，S₃之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A和點(diǎn)B），過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，連接MC，是否存在點(diǎn)M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和此時(shí)刻直線MN的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出△AOC，△BOC的面積，利用勾股定理的逆定理判斷△BCD為直角三角形，求出其面積，計(jì)算即可得到答案；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），表示出MA的長(zhǎng)，根據(jù)MN∥BC，得到比例式求出AN，根據(jù)△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出BC的解析式，根據(jù)MN∥BC，設(shè)直線MN的解析式，求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，-4）；
（2）S₁+S₃=S₂，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，DF⊥y軸于F，
由題意得，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，BC=3$\sqrt{2}$，
CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，
S₁=$\frac{1}{2}$×OA×OC=$\frac{3}{2}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×OB×OC=$\frac{9}{2}$
S₃=$\frac{1}{2}$×CD×BC=3，
∴S₁+S₃=S₂；
（3）存在點(diǎn)M使∠AMN=∠ACM，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），
∵-1＜m＜3，
∴MA=m+1，AC=$\sqrt{10}$，
∵M(jìn)N∥BC，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{m+1}{AN}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
解得，AN=$\frac{\sqrt{10}}{4}$（m+1），
∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，
∴△AMN∽△ACM，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AN}{AM}$，即（m+1）²=$\sqrt{10}$•$\frac{\sqrt{10}}{4}$（m+1），
解得，m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=-1（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0），
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，-3）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則BC的解析式為y=x-3，又MN∥BC，
∴設(shè)直線MN的解析式為y=x+b，把點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）代入得，
b=-$\frac{3}{2}$，
∴直線MN的解析式為y=x-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)的解析式的確定和相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法二次函數(shù)和一次函數(shù)求解析式是解題的關(guān)鍵，注意一元二次方程的解法和勾股定理逆定理的運(yùn)用．