Question

18．如圖，正方形ABCO在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C坐標(biāo)分別是A（2，0）、B（2，2）、C（0，2），點M是BC中點，點P（0，t）是線段OC上的一動點，射線PM交直線AB于點Q．
（1）點M的坐標(biāo)為（1，2）；
（2）用含t的式子表示點Q坐標(biāo)：（2，4-t）；
（3）若△APQ是等腰三角形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）M是BC的中點，則M的坐標(biāo)是B和C的坐標(biāo)的平均數(shù)，據(jù)此即可求得；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線PM的解析式，然后求得與AB的交點即可；
（3）求得AP²，PQ²和AQ²，然后根據(jù)AP=AQ，AP=PQ和AQ=PQ三種情況，列方程求解．

解答 解：（1）M的坐標(biāo)是（1，2）；
（2）設(shè)直線PM的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{k=2-t}\end{array}\right.$，
則直線PM的解析式是y=（2-t）x+t，
令x=2，則y=2（2-t）+t=4-t．
則Q的坐標(biāo)是（2，4-t）；
（3）AP²=2²+t²=4+t²，
AQ²=（4-t）²，
PQ²=2²+（4-t-t）²=4+（4-2t）²，
當(dāng)AP=AQ時，4+t²=（4-t）²時，t=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)AP=PQ時，4+t²=4+（4-2t）²，解得：t=$\frac{4}{3}$或4（舍去）；
當(dāng)AQ=PQ時，4+（4-2t）²=（4-t）²，
解得：2或$\frac{1}{3}$．
總之，P的坐標(biāo)是（0，$\frac{3}{2}$）或（0，$\frac{4}{3}$）（0，2）或（0，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及等腰三角形的性質(zhì)，正確利用t表示出AP、AQ和PQ的長是關(guān)鍵．