Question

10．如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相離，OP和OQ是它們的兩條外公切線，線段O₁O₂的垂直平分線交射線OP于A，過點A分別作⊙O₁、⊙O₂的切線，分別交射線OQ于B、C兩點，求證：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 連結O₁于A，O₂A，延長AO₂與OC交于D，根據(jù)切線的性質得到⊙O₁為△AOB的內切圓，根據(jù)內切圓的性質得到∠ABC=∠AOB+∠OAB=2∠AOO₁+2∠OAO₁=2∠AO₁O₂，∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠PAO₂+∠ADC=∠POD+2∠ADC=2∠O₂OD+2∠ADC=2∠AO₂O₁，根據(jù)垂直平分線的性質得到AO₁=∠AO₂，可得∠AO₁O₂=∠AO₂O₁，可得∠ABC=∠ACB，進一步得到AB=AC．

解答 解：連結O₁于A，O₂A，延長AO₂與OC交于D，
∵OA，OB，AB分別與⊙O₁相切，
∴⊙O₁為△AOB的內切圓，
∴∠ABC=∠AOB+∠OAB=2∠AOO₁+2∠OAO₁=2∠AO₁O₂，
∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠PAO₂+∠ADC=∠POD+2∠ADC=2∠O₂OD+2∠ADC=2∠AO₂O₁，
又∵線段O₁O₂的垂直平分線交射線OP于A，
∴AO₁=∠AO₂，
∴∠AO₁O₂=∠AO₂O₁，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

點評 考查了圓與圓的位置關系，線段垂直平分線的性質，切線的性質，等腰三角形的判定，關鍵是證明∠AO₁O₂=∠AO₂O₁．