Question

16．如圖，已知線段AB的長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B重合），分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側(cè)作等邊三角形APC和等邊三角形PBD，連接AD，BC相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC=α，那么α的大小是否會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PA=PC，∠APC=60°，PB=PD，∠BPD=60°，于是得到∠APD=∠CPB，證得△APD≌△CPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．

解答 解：α的大小不會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD與△CPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=PC}\\{∠APD=∠CPB}\\{PD=PB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°．
∴α的大小不會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．