Question

17．在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別平分∠BAD和∠BCD．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四邊形AECF的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析 （1）先由平行四邊形的性質(zhì)可得：AD∥BC、∠BAD=∠BCD，進(jìn)而可得AF∥CE，然后由AE，CF分別平分∠BAD和∠BCD，可得∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}∠BAD$，∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}∠BCD$，從而可得∠DAE=∠BCF，然后由AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠DAE=∠BEA，從而可得∠BEA=∠BCF，然后由同位角相等，兩直線平行即可判斷AE∥CF，然后根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可證明四邊形AECF是平行四邊形；
（2）①由（1）知，∠BEA=∠BAE，然后由∠B=60°，可判斷△ABE是等邊三角形，可得AB=BE=AE=4，然后由BE=2CE，可得CE=2，進(jìn)而可求四邊形AECF的周長(zhǎng)；
②過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，在等邊三角形ABE中，由等邊三角形的性質(zhì)可求EG的值，然后由勾股定理可求AG的值，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可計(jì)算四邊形AECF的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC、∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠BEA，AF∥EC，
∵AE，CF分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}∠BAD$，∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}∠BCD$，
∴∠DAE=∠BCF，
∴∠BEA=∠BCF，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：①∠BAE=∠DAE，∠DAE=∠BEA，
∴∠BEA=∠BAE，
∵∠B=60°，∠BEA+∠BAE+∠B=180°，
∴∠BEA=∠BAE=$\frac{180°-∠B}{2}$=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE=AE=4，
∵BE=2CE，
∴CE=2，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=EC=2，AE=CF=4，
∴四邊形AECF的周長(zhǎng)為：AF+EC+AE+CF=12；
②過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，如圖所示，

∵△ABE是等邊三角形，AG⊥BE，
∴GE=$\frac{1}{2}$BE=2，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：
AG=$\sqrt{A{E}^{2}-G{E}^{2}}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
∴S?AECF=EC•AG=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定方法，平行四邊形的周長(zhǎng)及面積的計(jì)算，（1）證明∠AEB=∠FCB，得到AE∥CF是證明的關(guān)鍵；（2）證明△ABE是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．