Question

7．在圖1直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，B點(diǎn)在第一象限
（1）若矩形OABC的面積為16$\sqrt{3}$，且OA=$\sqrt{3}$AB，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）D點(diǎn)是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且AC=AD，連CD，M是CD的中點(diǎn)，求證：OM⊥BM；
（3）在（1）的條件下，P為BC邊上的一點(diǎn)，且∠COP=30°，OQ平分∠BOP，E、F是OB、OQ上的動(dòng)點(diǎn)，求BF+EF的最小值，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出示意圖并簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的面積和邊長(zhǎng)之間的關(guān)系求出AB、OA即可得出結(jié)果；
（2）連接OB交AC于N，先證明MN是△ADC的中位線，得出MN=$\frac{1}{2}$AD，再由AD=AC=BO，得出MN=$\frac{1}{2}$BO，根據(jù)直角三角形的判定方法即可得出結(jié)論；
（3）作BH⊥OP于H，交OQ于F，作FE⊥OB于E，E、F即為使BF+EF得最小值的點(diǎn)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵矩形OABC的面積為16$\sqrt{3}$，且OA=$\sqrt{3}$AB，
∴$\sqrt{3}$AB²=16$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
∴OA=4$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$，4）；
（2）連接OB交AC于N，如圖1所示：
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴CM=DM，
∵四邊形OABC是矩形，
∴AN=CN，BN=ON，AC=BO，
∴MN是△ADC的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD=AC，
∴AD=BO，
∴MN=$\frac{1}{2}$BO，
∴∠OMB=90°，
∴OM⊥BM；
（3）作BH⊥OP于H，交OQ于F，作FE⊥OB于E，E、F即為使BF+EF得最小值的點(diǎn)；如圖2所示：
∵tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}=\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∴∠BOH=90°-∠COP-∠AOB=30°，
∴∠BOH=∠AOB，
∴BH=AB=4，
∵OQ平分∠BOP，
∴HF=EF，
∴BF+EF=BF+HF=BH=4，
即BF+EF的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的判定方法、銳角三角函數(shù)以及最小值問(wèn)題等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）（3）中，需要通過(guò)作輔助線才能得出答案．