Question

3．矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CD的延長線連接PM延長交AC于點(diǎn)Q，連接PN，QN．
求證：∠QNM=∠PNM．

Answer 1

分析 先延長QN，交DC的延長線于點(diǎn)E，根據(jù)矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，得出MN||PE，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出ON：CE=QO：QC=OM：CP，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出MO=NO，及CP=CE，最后根據(jù)∠QNM=∠QEC，∠PNM=∠NPC，∠NPC=∠NEC，運(yùn)用等量代換可以得出結(jié)論．

解答 證明：延長QN，交DC的延長線于點(diǎn)E，
∵矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，
∴DM=CN，DM∥CN，
∴平行四邊形CDMN中，MN||PE，
∴∠QNM=∠QEC，∠PNM=∠NPC，且ON：CE=QO：QC=OM：CP，
又∵∠AOM=∠CON，∠OAM=∠OCN，AM=CN，
∴△AOM≌△CON，
∴MO=NO，
∴CP=CE，
∴NC垂直平分PE，
∴NP=NE，
∴∠NPC=∠NEC，
∴∠QNM=∠PNM．

點(diǎn)評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同位角．解題時注意：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．