Question

19．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點P為邊AB上的一個動點，過點P作AB的垂線交BC所在的直線于點F，連接CP，當(dāng)△CFP為等腰三角形時，求PF的長．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，證得△PBF∽CBA；分兩種情況討論：
①當(dāng)PF=CF時，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，列出方程，解方程即可；
②當(dāng)PC=CF時，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，列出方程，解方程即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵PF⊥AB，
∴∠BPF=90°，
∴∠ACB=∠BPF，
∵∠ABC=∠FBP，
∴△PBF∽CBA，
∴$\frac{PF}{AC}$=$\frac{BF}{AB}$，
分兩種情況討論：
①當(dāng)PF=CF時，如圖1，
設(shè)PF=x，則CF=x，BF=6-x，
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{6-x}{10}$，
解得x=$\frac{8}{3}$
②當(dāng)PC=CF時，則∠F=∠CPF，
∴∠B=∠CPB，
∴PC=BC=6，如圖2，
，設(shè)PF=x，則BF=12，
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{12}{10}$
解得x=$\frac{48}{5}$；
綜上所述：當(dāng)△PCF為等腰三角形時，PF的長為：$\frac{8}{3}$或$\frac{48}{5}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要進行分類討論．