Question

4．如圖所示，在直角坐標(biāo)平面中，二次函數(shù)y=-x²+kx+4的圖象與y軸交于C點，與x軸交于點A（-3，0）和B點，一次函數(shù)y=-x+b圖象經(jīng)過點B交拋物線于另一點D．
（1）分別求出k、b值；
（2）求出點D坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x為-2＜x＜$\frac{4}{3}$時，二次函數(shù)大于一次函數(shù)值；
（4）點M為x軸下方拋物線上的點，若△ABC的面積是△ABM面積的3倍，請直接寫出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點A坐標(biāo)代入y=-x²+kx+4求出k，再求出點B坐標(biāo)代入y=-x+b即可解決問題．
（2）列方程組求交點坐標(biāo)．
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方寫出自變量的取值范圍即可．
（4）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n）（n＜0），列出方程先求出n，再利用待定系數(shù)法求出m的值即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+kx+4的圖象經(jīng)過點A（-3，0），
∴-9-3k+4=0，
∴k=-$\frac{5}{3}$，
∴拋物線解析式為y=-x²-$\frac{5}{3}$x+4，
令y=0，則-x²-$\frac{5}{3}$x+4=0，解得x=-3或$\frac{4}{3}$，
∴點B坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，0）代入y=-x+b，
得到b=$\frac{4}{3}$．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+\frac{4}{3}}\\{y=-{x}^{2}-\frac{5}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴點D坐標(biāo)（-2，$\frac{10}{3}$）．

（3）由圖象可知當(dāng)-2＜x＜$\frac{4}{3}$時，二次函數(shù)大于一次函數(shù)值．
故答案為-2＜x＜$\frac{4}{3}$．

（4）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n）（n＜0）
由題意$\frac{1}{2}$×AB×OC=3×$\frac{1}{2}$×AB×（-n），
∴n=-$\frac{4}{3}$．
當(dāng)n=-$\frac{4}{3}$時，-$\frac{4}{3}$=-m²-$\frac{5}{3}$m+4，
解得m=$\frac{-5±3\sqrt{13}}{6}$，
∴點M坐標(biāo)為（$\frac{-5-3\sqrt{13}}{6}$，-$\frac{4}{3}$）或（$\frac{-5+3\sqrt{13}}{6}$，-$\frac{4}{3}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題．一次函數(shù)、三角形面積問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活掌握待定系數(shù)法，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．