Question

9．如圖，點A₁，A₂依次在y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的圖象上，點B₁，B₂依次在x軸的正半軸上．若△A₁OB₁，△A₂B₁B₂均為等邊三角形，則點B₂的坐標(biāo)為（6$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 由于△A₁OB₁等邊三角形，作A₁C⊥OB₁，垂足為C，由等邊三角形的性質(zhì)求出A₁C=$\sqrt{3}$OC，設(shè)A₁的坐標(biāo)為（m，$\sqrt{3}$m），根據(jù)點A₁是反比例函數(shù)y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的圖象上的一點，求出BO的長度；作A₂D⊥B₁B₂，垂足為D．設(shè)B₁D=a，由于，△A₂B₁B₂為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，可用含a的代數(shù)式分別表示點A₂的橫、縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式中，求出a的值，進(jìn)而得出B₂點的坐標(biāo)．

解答 解：作A₁C⊥OB₁，垂足為C，
∵△A₁OB₁為等邊三角形，
∴∠A₁OB₁=60°，
∴tan60°=$\frac{{A}_{1}C}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴A₁C=$\sqrt{3}$OC，
設(shè)A₁的坐標(biāo)為（m，$\sqrt{3}$m），
∵點A₁在y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴m$•\sqrt{3}m$=9$\sqrt{3}$，解得m=3，
∴OC=3，
∴OB₁=6，
作A₂D⊥B₁B₂，垂足為D．
設(shè)B₁D=a，
則OD=6+a，A₂D=$\sqrt{3}$a，
∴A₂（6+a，$\sqrt{3}$a）．
∵A₂（6+a，$\sqrt{3}$a）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴代入y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$，得（6+a）•$\sqrt{3}$a=9$\sqrt{3}$，
化簡得a²+6a-9=0
解得：a=-3±3$\sqrt{2}$．
∵a＞0，
∴a=-3+3$\sqrt{2}$．
∴B₁B₂=-6+6$\sqrt{2}$，
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=6$\sqrt{2}$，
所以點B₂的坐標(biāo)為（6$\sqrt{2}$，0）．
故答案是：（6$\sqrt{2}$，0）．

點評 此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正三角形的性質(zhì)等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．