Question

4．已知二次函數(shù)y=x²+（a+1）x+b（a、b為常數(shù)），當(dāng)x=3時(shí)，y=3；當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y≥x，則拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離為（　�。�

• A． $\frac{11}{4}$
• B． 3
• C． $\frac{13}{4}$
• D． 4

Answer 1

分析 先把x=3，y=3代入y=x²+（a+1）x+b得到b=-3a-9，則利用當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y≥x得到x²+ax-3a-9≥0，則對(duì)于拋物線y=x²+ax-3a-9，它與x軸沒有公共點(diǎn)或只有一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)△的意義得△=（a+6）²≤0，所以a=-6，b=9，于是得到原拋物線解析式為y=x²-5x+9，把它配成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離．

解答 解：把x=3，y=3代入y=x²+（a+1）x+b得9+3a+3+b=3，則b=-3a-9，
∵當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y≥x，
即x²+（a+1）x+b≥x，
∴x²+（a+1）x-3a-9≥x，即x²+ax-3a-9≥0，
∴拋物線y=x²+ax-3a-9與x軸沒有公共點(diǎn)或只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=a²-4（-3a-9）=（a+6）²≤0，
∴a+6=0，解得a=-6，
∴b=9，
∴y=x²-5x+9=（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$），
∴拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離為$\frac{11}{4}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y≥x，求出a的值，此題有一定的難度．