Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AD=2DC=4，動點M以每秒1個單位的長度的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿線段CD向點D運動．當(dāng)點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作QM⊥AB于點M交AC于點Q，連接QP．若點M運動的時間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=0.5時，求線段QM的長；
（2）在上述運動中，當(dāng)t為何值時，以C，P，Q為頂點的三角形為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）由QM∥CB，可得Rt△AQM∽Rt△ACB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，從而求出QM；
（2）由于∠DCA為銳角，故有兩種情況：①當(dāng)∠CPQ=90°時，點P為MQ延長線于CD的交點，可得AM+CP=CD，從而可求t；②當(dāng)∠PQC=90°時，設(shè)點E為MQ延長線與CD的交點，容易證出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例線段，結(jié)合EQ=EM-QM=4-2t，可求t．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，∠B=90°，QM⊥AB于點M，
∴QM∥CB，
∴Rt△AQM∽Rt△ACB，
∴$\frac{QM}{CB}$=$\frac{AM}{AB}$，
即$\frac{QM}{4}$=$\frac{t}{2}$，
∴QM=2t=1；

（2）由于∠DCA為銳角，故有兩種情況：
①當(dāng)∠CPQ=90°時，點P為MQ延長線與CD的交點，
此時AM+CP=CD，即t+t=2，解得t=1，符合題意；
②當(dāng)∠PQC=90°時，如圖，設(shè)點E為MQ延長線與CD的交點，
此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，
∴$\frac{EQ}{MA}$=$\frac{PE}{QM}$，
∵EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴$\frac{4-2t}{t}$=$\frac{2t-2}{2t}$，
∴t=$\frac{5}{3}$，符合題意；
綜上所述，t=1或$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，還要掌握多種情況下的討論解題法．