Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，4），B（2，0），在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，使△ABC為面積最小的等腰直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），最小面積為5．

Answer 1

分析 分別從當(dāng)∠ABC=90°，AB=BC時(shí)，當(dāng)∠BAC=90°，AB=AC時(shí)與當(dāng)∠ACB=90°，AC=BC時(shí)去分析求解，利用全等三角形的判定與性質(zhì)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)和三角形的面積．

解答 解：當(dāng)∠ACB=90°，AC=BC時(shí)，
過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，CE⊥x軸于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB=90°}\\{∠ACD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴CD=CE=OE，AD=BE，
∵AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$，
∵CE²+（CE-2）²=AC²=10，
解得CE=3或-1（不合題意舍去）．
則點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，3），
∴S_△ABC=S_{正方形OECD}-S_△ABO=3×3-$\frac{1}{2}×2×4$=5．
故答案為：（3，3），5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．