Question

20．如圖，P為⊙0外一點(diǎn)，A為⊙0上一點(diǎn)，直線OP交⊙0于B、C，連接AB、AC，且∠PAB=∠C．
（1）說明：直線PA與⊙0相切．
（2）若PA=2，PB=1時(shí)，求⊙0的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OA，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°，可得出∠OAB+∠OAC=90°，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠OAC=∠OCA，再由∠PAB=∠C得出∠PAO=90°，即可得出直線PA與⊙0相切；
（2）設(shè)⊙0的半徑為r，在Rt△PAO中，利用勾股定理可得出關(guān)于r的方程，解方程即可得出⊙0的半徑．

解答 解：（1）證明：連接OA，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
即∠OAB+∠OAC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠PAB=∠C，
∴∠OAB+∠PAB=90°，
即∠PAO=90°，
∴直線PA與⊙0相切；
（2）設(shè)⊙0的半徑為r，
∵直線PA與⊙0相切
∴∠PAO=90°，
在Rt△PAO中，OA²+PA²=OP²，
∵PA=2，PB=1，
∴r²+2²=（r+1）²，
解得r=$\frac{3}{2}$，
∴⊙0的半徑$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．