Question

8．已知a=$\frac{1}{2+\sqrt{7}}$，b=$\frac{1}{2-\sqrt{7}}$，求a³-a+b³-b的值．

Answer 1

分析 先利用分母有理化得到a=-$\frac{2-\sqrt{7}}{3}$，b=-$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，再計(jì)算出a+b=-$\frac{4}{3}$，ab=-$\frac{1}{3}$，接著運(yùn)用因式分解的方法變形得到a³-a+b³-b=（a+b）[（a+b）²-3ab]-（a+b），然后利用整體代入的方法計(jì)算．

解答 解：∵a=$\frac{1}{2+\sqrt{7}}$，b=$\frac{1}{2-\sqrt{7}}$，
∴a=-$\frac{2-\sqrt{7}}{3}$，b=-$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$
∴a+b=-$\frac{4}{3}$，ab=-$\frac{1}{3}$，
∴a³-a+b³-b=（a+b）（a²-ab+b²）-（a+b）
=（a+b）[（a+b）²-3ab]-（a+b）
=-$\frac{4}{3}$×（$\frac{16}{9}$+3×$\frac{1}{3}$）+$\frac{4}{3}$
=-$\frac{64}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．