Question

3．如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（4，0），C（0，-4）三點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，連結(jié)DC，DB，則△BCD的面積的最大值是（　�。�

• A． 7
• B． 7.5
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 要求△BCD的最大值，只要表示出△BCD的面積即可，根據(jù)題目中的信息可以求出拋物線的解析式和直線的解析式，從而可以表示出三角形BCD的面積，從而可以求得△BCD的最大值．

解答 解：設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過A（1，0），B（4，0），C（0，-4）三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\\{c=-4}\end{array}\right.$
∴y=-x²+5x-4，
設(shè)過點(diǎn)B（4，0），C（0，-4）的直線的解析式為y=kx+m
$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{m=-4}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-4}\end{array}\right.$
即直線BC的直線解析式為：y=x-4，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x，-x²+5x-4）
∴${S}_{△BCD}=\frac{[（-{x}^{2}+5x-4）-（x-4）]×4}{2}$=-2（x-2）²+8，
∴當(dāng)x=2時，△BCD的面積取得最大值，最大值是8．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出相應(yīng)的解析式，可以表示出三角形的面積，運(yùn)用二次函數(shù)最值的相關(guān)知識解答．