Question

9．已知：線段a、b；
（1）求作：a，b為邊的等腰三角形（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）若a=5，b=6，求（1）中所作等腰三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）分a為底邊、b為腰和a為腰、b為底邊兩種情況，作底邊的中垂線，再以底邊的端點(diǎn)為圓心、另一邊長(zhǎng)為半徑畫弧交中垂線于一點(diǎn)，從而得到等腰三角形；
（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)和勾股定理求得底邊上的高，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）若等腰的底邊為b，腰長(zhǎng)為a，如圖1所示，△ABC即為所求三角形；
若等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a，腰長(zhǎng)為b，如圖2所示，△DEF即為所求三角形；


（2）如圖1，AB=b=6，AC=a=5，
則AM=CM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×CM=$\frac{1}{2}$×6×4=12；
如圖2，DE=a=5，DF=b=6，
則DN=NE=$\frac{5}{2}$，
∴$NF=\sqrt{D{F}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{119}}{4}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×DE×NF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{\sqrt{119}}{4}$=$\frac{5\sqrt{119}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，掌握等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)和基本作圖、勾股定理是解題的關(guān)鍵．