Question

8．已知：拋物線C_k：y=-x²+2kx-k²+k+1（k=1，2，3…，k為正整數(shù)），拋物線C_k的頂點為M_k．
（1）當k=1時，M₁的坐標為（1，2），當k=2時，M₂的坐標為（2，3）．
（2）拋物線C_k的頂點為M_k是否在同一條直線上？如在，請直接寫出這條直線的解析式；
（3）如圖（2）中的直線為直線l，直線l與拋物線C_k的 左交點為A_k，求證：M_k與A_k+1重合；
（4）拋物線C_k與x軸的右交點為B_k，是否存在△A_kB_kM_k是直角三角形？若存在，求k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=-x²+2kx-k²+k+1=-（x-k）²+k+1，可得頂點M_k（k，k+1），由此不難解決問題；
（2）拋物線C_k的頂點為M_k在同一條直線上，由頂點M_k（k，k+1），可知頂點M_k，在直線y=x+1上；
（3）利用方程組求出A_k、A_k+1的坐標即可解決問題；
（4）分兩種情形，求出點B_k的坐標，利用待定系數(shù)法，轉化為方程解決問題即可；

解答 （1）解：由y=-x²+2kx-k²+k+1=-（x-k）²+k+1，可得頂點M_k（k，k+1），
∴k=1時，M₁（1，2），k=2時，M₂（2，3），
故答案分別為（1，2），（2，3）．

（2）解：拋物線C_k的頂點為M_k在同一條直線上，
∵頂點M_k（k，k+1），
∴頂點M_k，在直線y=x+1上．

（3）證明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-k）^{2}+k+1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{y=k+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=k-1}\\{y=k}\end{array}\right.$，
∴A_k（k-1，k），
∴A_k+1（k，k+1），
∵M_k（k，k+1），
∴M_k與A_k+1重合；

（4）觀察圖象可知當△A_kB_kM_k是直角三角形時，有兩種可能：
①當B_kA_k⊥A_kM_k時，
∵直線l的解析式為y=x+1，
∴∠A_kB_kO=45°，
∵A_k（k-1，k），
∴B_k（2k-1，0），
把B_k（2k-1，0），代入y=-x²+2kx-k²+k+1得到，-（2k-1）²+2k（2k-1）-k²+k+1=0，
解得k=3或0（舍棄），
②當B_kM_k⊥A_kM_k時，
∵直線l的解析式為y=x+1，
∴∠M_kB_kO=45°，
∵M_k（k，k+1），
∴B_k（2k+1，0），
把B_k（2k+1，0），代入y=-x²+2kx-k²+k+1得到，-（2k+1）²+2k（2k+1）-k²+k+1=0，
解得K=-1或0（均不符合題意舍棄），
綜上所述，滿足條件的k的值為3．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、直角三角形的性質、兩直線垂直的條件等知識，解題的關鍵是辛苦利用此時解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建一次函數(shù)，利用方程組確定交點坐標，屬于中考壓軸題．