Question

17．如圖1，定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，則把四邊形ABCD叫做互補等對邊四邊形，如圖2，在等腰△ABE中，AE=BE，四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，求證：∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠E．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊對等角可得∠EAB=∠EBA，根據(jù)四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，可得AD=BC，根據(jù)SAS可證△ABD≌△BAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠BAC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明．

解答 證明：∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，
∴AD=BC，
在△ABD與△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠EAB=∠EBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ABD=∠BAC，∠ADB=∠BCA，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在等腰△ABE中，∠EAB=∠EBA=（180°-∠E）÷2=90°-$\frac{1}{2}$∠E，
∴∠ABD=90°-∠EAB=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠E）=$\frac{1}{2}$∠E，
∴∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠E．

點評 考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△ABD≌△BAC．