Question

8．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于E，DE=EC，過點B的切線與AF的延長線交于F，過E作EG⊥BC于G，延長CE交AD于H
（1）求證：H為三角形ADE的外心；
（2）若cos∠C=$\frac{4}{5}$，DF=9，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，設(shè)△AHE與△DBC的面積分別為S₁，S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，DE=EC，根據(jù)垂徑定理的推論，可證得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易證得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，繼而可證得AH=EH，則可證得結(jié)論；
（2）由AB為⊙O的直徑，可得∠BDF=90°，由BF是切線，可得∠DBF=∠C，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得BD的長，繼而求得答案；
（3）根據(jù)題意得出DE，BE，EC的長，再利用三角形面積公式求出即可．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，DE=EC，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，
∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，
∴AH=HD，
又∵∠AED=90°，
∴H為三角形ADE的外心；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠DBF=∠C，
∵cos∠C=$\frac{4}{5}$，DF=9，
∴tan∠DBF=$\frac{3}{4}$，
∴BD=$\frac{DF}{tan∠DBF}$=12，
∵∠A=∠C，
∴sin∠A=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{BD}{sinA}$=20，
∴⊙O的半徑為10；

（3）解：∵BD=12，AB=20，∴AD=16，
則DE×AB=BD×AD，
即DE=$\frac{12×16}{20}$=$\frac{48}{5}$，
∵DE²=BE×AE，
∴（$\frac{48}{5}$）²=BE（20-BE），
解得：BE₁=12.8（不合題意舍去），BE₂=7.2，
∵△AHE與△DBC的面積分別為S₁，S₂，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×AE×DE=$\frac{1}{4}$×12.8×$\frac{48}{5}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×DC×BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{48}{5}$×2×7.2，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}×12.8×\frac{48}{5}}{\frac{1}{2}×\frac{48}{5}×2×7.2}$=$\frac{4}{9}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、弦切角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．