Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=$-\frac{3}{4}$x+1與x軸交于點(diǎn)A，且與雙曲線y=$\frac{k}{x}$的一個(gè)交點(diǎn)為B（$-\frac{8}{3}$，m），
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和雙曲線y=$\frac{k}{x}$的表達(dá)式；
（2）若BC∥y軸，且點(diǎn)C到直線y=$-\frac{3}{4}$x+1的距離為4，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{3}{4}$x+1中令y=0，解得x的值即可求得A的坐標(biāo)；
把（-$\frac{8}{3}$，m）代入y=-$\frac{3}{4}$x+1，求得m的值即可求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)直線y=-$\frac{3}{4}$x+1與y軸的交點(diǎn)是M．則M的坐標(biāo)是（0，1）．過B作AN⊥BM，并截取AN=4，作NE∥y軸，交AM于點(diǎn)E，利用△ANE∽△OAM，求得NE的長，則把把B上下平移EN個(gè)單位長度就是C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+1中令y=0，解得x=$\frac{4}{3}$，
則A的坐標(biāo)是（$\frac{4}{3}$，0）．
把B（-$\frac{8}{3}$，m）代入y=-$\frac{3}{4}$x+1，得m=2+1=3，
則B的坐標(biāo)是（-$\frac{8}{3}$，3）．
把（-$\frac{8}{3}$，3）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-8，
則反比例函數(shù)的解析式是y=-$\frac{8}{x}$；
（2）設(shè)直線y=-$\frac{3}{4}$x+1與y軸的交點(diǎn)是M．則M的坐標(biāo)是（0，1）．
過B作AN⊥BM，并截取AN=4，作NE∥y軸，交AM于點(diǎn)E．
在直角△OAM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．
∵NE∥OM，
∴∠NEA=∠AMO，
又∵∠AOM=∠EAN，
∴△ANE∽△OAM，
∴$\frac{EN}{AM}$=$\frac{AN}{OA}$，即$\frac{EN}{\frac{5}{3}}$=$\frac{4}{\frac{4}{3}}$，
解得：EN=5，即BC=5．
則把B上下平移5個(gè)單位長度就是C的坐標(biāo)，則C的坐標(biāo)是（-$\frac{8}{3}$，8）或（-$\frac{8}{3}$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求得BC的長度是關(guān)鍵．