Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-6mx+5與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)B（b，0），C（c，0）．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，如圖，E（t，0）是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線的交點(diǎn)為P．求△APC面積的最大值；
（3）當(dāng)c=b+n時(shí)，且n為正整數(shù)，線段BC（包括端點(diǎn)）上有且只有五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，求b的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)b=1時(shí)，將點(diǎn)B（1，0）代入拋物線y=x²-6mx+5中求出m，即可解決問題．
（2）如圖1中，直線AC與PE交于點(diǎn)F．切線直線AC的解析式，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
（3）分兩種情形①當(dāng)b整數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，可知n=4，c=b+4．則b，b+4是方程x²-mx+5=0的兩個(gè)根，分別代入方程中求解即可，②當(dāng)b小數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，∴n=5，c=b+5為小數(shù)，則b，b+5是方程x²-6x+5=0的兩個(gè)根，

解答 解：（1）當(dāng)b=1時(shí)，將點(diǎn)B（1，0）代入拋物線y=x²-6mx+5中，得m=1，
∴y=x²-6x+5；

（2）如圖1中，直線AC與PE交于點(diǎn)F．

當(dāng)b=1時(shí)，求得A（0，5），B（1，0），C（5，0），可得AC所在的一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5，
∵E（t，0），
∴P （t，t²-6t+5），直線l與AC的交點(diǎn)為F（t，-t+5），
∴PF=（-t+5）-（t²-6t+5）=-t²+5t，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$×（-t²+5t）•5=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
∵-$\frac{5}{2}$＜0，
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，面積S有最大值$\frac{125}{8}$；

（3）①當(dāng)b整數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，
∴n=4，c=b+4．則b，b+4是方程x²-mx+5=0的兩個(gè)根，分別代入方程中，
得b²-mb+5=0     ①，（b+4）²-m（b+4）+5=0     ②，
由①②可得b²+4b-5=0，解得b=1或-5（舍）；
或由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得 b（b+4）=5解得b=1或-5（舍）．
②當(dāng)b小數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，∴n=5，c=b+5為小數(shù)，則b，b+5是方程x²-mx+5=0的兩個(gè)根，同樣可得b=$\frac{-5+3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-5-3\sqrt{5}}{2}$（舍棄）；
∴b=1或$\frac{-5+3\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、最值問題、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用思想知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．